引言
本文以純代數方法計算霓虹角度以及強度。
計算
1. 單次折射與反射的偏折角度
設平行光入射角為 $i \in [0, \pi/2]$，折射角為 $t$。根據折射定律有 $\sin i = n \sin t$。
約定光線初始方向為從左向右（正方向），逆時針偏折為正，順時針偏折為負。光線射入水滴上半部，發生的偏折均為順時針：
- 一次折射光線偏折角度 $\delta_t$: $$\delta_t = -(i - t)$$
- 一次反射光線偏折角度 $\delta_r$: $$\delta_r = -(\pi - 2t)$$
2. 虹與霓的總偏折角度與總光強推導
交界面光強損失 (Schlick Approximation):
垂直入射時基礎反射率 $R_0 = \left(\frac{n-1}{n+1}\right)^2$。外部反射率 $R_{ext} = R_0 + (1 - R_0)(1 - \cos i)^5$，透射率 $T = 1 - R_{ext}$。內部反射率 $R_{int} = R_0 + (1 - R_0)(1 - \cos t)^5$。
主虹 (Primary Rainbow, 1次反射 + 2次折射):
- 總偏折角度絕對值 $|\Delta_1|$:
$$|\Delta_1| = |-2(i - t) - (\pi - 2t)| = \pi + 2i - 4t$$ - 總光強 $I_1$:
幾何光束密度正比於 $\sin i \cos i$。考慮能量損耗：
$$I_1 = \frac{\sin i \cos i}{\left| 4 \frac{\cos i}{n \cos t} - 2 \right|} T^2 R_{int}$$
霓 (Secondary Rainbow, 2次反射 + 2次折射):
- 總偏折角度絕對值 $|\Delta_2|$: 光線在水滴內部多經歷一次反射。
$$|\Delta_2| = |-2(i - t) - 2(\pi - 2t)| = 2\pi + 2i - 6t$$ - 總光強 $I_2$:
$$I_2 = \frac{\sin i \cos i}{\left| 6 \frac{\cos i}{n \cos t} - 2 \right|} T^2 R_{int}^2$$
3. 霓與虹的極值、色散與光強差別估計
虹的極值與顏色分佈:
令 $\frac{d\Delta_1}{di} = 0$，解得極值條件 $\cos i = \sqrt{\frac{n^2 - 1}{3}}$。
對於水 ($n \approx 4/3$)，紅光最小偏折角約為 $137.5^\circ$，紫光約為 $139.2^\circ$。
由於出射光線相對於太陽光入射方向的總偏折角為 $|\Delta_1|$，觀察者背對太陽觀測時，視線與 反日點（Anti-solar point） 的夾角即為 $180^\circ - |\Delta_1| \approx 42^\circ$。紅光偏折角小，仰角大，因此主虹外側為紅色，內側為紫色。
霓的極值與顏色反轉:
令 $\frac{d\Delta_2}{di} = 0$（即 $-2 + 6\frac{\cos i}{n \cos t} = 0$），解得極值條件：
$$\cos i = \sqrt{\frac{n^2 - 1}{8}}$$
代入紅光 ($n_{red} = 1.331$) 與紫光 ($n_{violet} = 1.343$)：
- 紅光最小偏折角: $|\Delta_{2, red}| \approx 230.4^\circ$
- 紫光最小偏折角: $|\Delta_{2, violet}| \approx 233.5^\circ$
霓的觀測仰角計算方式為 $|\Delta_2| - 180^\circ$。因此，紅光仰角約為 $50.4^\circ$，紫光仰角約為 $53.5^\circ$。這解釋了為什麼霓出現在虹的上方。同時，紫光的觀測仰角大於紅光，這導致了霓的顏色排列與虹完全相反：外側為紫色，內側為紅色。
兩者之間的空間（偏折角 $139^\circ \sim 230^\circ$ 的無光區），即為著名的亞歷山大暗帶（Alexander’s dark band）。
霓與虹的光強差別估計:
虹的光強包含一次內部反射 $R_{int}$，而霓包含兩次內部反射 $R_{int}^2$。
在極值角附近，內部反射的入射角 $t$ 約為 $40^\circ \sim 45^\circ$。根據 Schlick 近似，此時水滴內部的部分反射率 $R_{int}$ 約為 $2% \sim 5%$ ($0.02 \sim 0.05$)。
因此，僅從能量損耗來看，$R_{int}^2$ 會比 $R_{int}$ 小一到兩個數量級。加上霓的幾何光束角度散佈更廣（$\Delta_2$ 的二階導數較小），霓的整體光強通常只有主虹的 $10%$ 甚至更低，這就是為何現實中霓往往非常黯淡。
4. 更高階的霓虹：量級與位置
光線在水滴內部可以發生 3 次、4 次甚至更多次反射，形成高階彩虹：
- 三階彩虹 (Tertiary Rainbow, 3次內部反射):
總偏折角 $|\Delta_3| = 3\pi + 2i - 8t \approx 318^\circ$。
相對於原始光線方向的夾角為 $360^\circ - 318^\circ = 42^\circ$。這意味著三階彩虹出現在面向太陽的方向，距離太陽約 $40^\circ \sim 42^\circ$。 - 四階彩虹 (Quaternary Rainbow, 4次內部反射):
出現在同樣面向太陽的方向，距離太陽約 $42^\circ \sim 45^\circ$。 - 量級分析:
每增加一階，光強就會衰減一個 $R_{int}$ 的因子（即再乘以 $0.02 \sim 0.05$）。三階彩虹的光強極弱，且由於其出現在面向太陽的方向，會被太陽強烈的直射背景光（耀光）完全掩蓋。在極端嚴苛的實驗室條件或完美的自然遮蔽下才能勉強拍攝到，肉眼幾乎不可能觀測到。
後記
最近比較忙，以後有機會補幾張圖。