引言
這裡給出一維非對稱隨機遊走回歸原點概率的嚴格證明。
模型
變數定義與自洽方程
考慮一維整數格點上的隨機遊走，每一步向右的概率為 $p$，向左的概率為 $q$，且滿足 $p + q = 1$。定義 $P_{esc}$ 為從位置 $1$ 出發，無限長時間內永遠不到達位置 $0$ 的逃逸概率。相應地，從 $1$ 首次到達 $0$ 的概率（首中概率，為排除在無窮時間處第一次到達的概率，為全部有限時刻第一次到達概率的總和）為 $h = 1 - P_{esc}$。你可以理解為要麼永遠不能到達，要麼至少存在某一刻第一次到達；又或者說無限的時間不能抵達，要麼有限的時間必然抵達。
利用全概率公式與空間平移不變性，考察從位置 $1$ 出發的第一步：
- 向左（概率 $q$）：直接到達 $0$，此情況下「永遠不到達 $0$」的概率為 $0$。
- 向右（概率 $p$）：到達 $2$。基於馬可夫無記憶性，從 $2$ 要想抵達 $0$，必須經過獨立的兩步下降（$2 \to 1$ 且 $1 \to 0$），其首中概率為 $(1 - P_{esc})^2$。因此，從 $2$ 出發永遠不到達 $0$ 的概率為 $1 - (1 - P_{esc})^2$。
由此可建立 $P_{esc}$ 的自洽方程：
$$
P_{esc} = p [1 - (1 - P_{esc})^2]
$$
求解逃逸概率
展開並整理自洽方程：
$$
P_{esc} = p(2P_{esc} - P_{esc}^2)
$$
提取公因式得：
$$
P_{esc}[pP_{esc} + (1 - 2p)] = 0
$$
該代數方程有兩個根：
- $P_{esc} = 0$
- $P_{esc} = \frac{2p - 1}{p}$
利用 $p + q = 1$，可將第二個根改寫為：
$$
P_{esc} = \frac{2p - (p + q)}{p} = \frac{p - q}{p} = 1 - \frac{q}{p}
$$
物理根的選擇
根據馬可夫鏈理論中的最小非負根定理（Minimal non-negative root theorem），真實的首中概率 $h$ 必須是方程 $h = q + ph^2$ 的最小非負根。由於 $h = 1 - P_{esc}$，這等價於 $P_{esc}$ 必須取最大的有效概率根（滿足 $0 \le P_{esc} \le 1$）。
我們依據系統的漂移方向分情況討論：
情況 A：向左漂移或無漂移 ($p \le q$)
此時 $p \le 1/2$，從而 $p - q \le 0$。第二個根 $\frac{p - q}{p}$ 不為正。因為概率必須大於等於 $0$，所以唯一合法的物理根為：
$$P_{esc} = 0$$
對應的首中概率 $h = 1$。這表示在沒有向右淨漂移的情況下，從 $1$ 出發必然會被吸回 $0$。情況 B：向右漂移 ($p > q$)
此時 $p > 1/2$，第二個根 $\frac{p - q}{p} > 0$。
計算首中概率的兩個可能值：$h = 1$ 或 $h = \frac{q}{p}$。
因為 $p > q$，有 $\frac{q}{p} < 1$。根據最小非負根定理，真實的首中概率為 $\frac{q}{p}$。因此真實的逃逸概率為：
$$
P_{esc} = \frac{p - q}{p}
$$
原點出發的總回歸概率
現在計算從原點 $0$ 出發，無限時間內回到 $0$ 的總概率 $P_{return}$。第一步以概率 $p$ 到達 $1$，以概率 $q$ 到達 $-1$。
假設系統存在向右漂移（即 $p > q$）：
- 從 $1$ 回到 $0$ 的概率 ($h_+$)：由情況 B 可知，$h_+ = 1 - P_{esc} = \frac{q}{p}$。
- 從 $-1$ 回到 $0$ 的概率 ($h_-$)：向右漂移意味著從 $-1$ 向 $0$ 的運動是順著漂移方向的。由空間對稱性可知，這等價於從 $1$ 回到 $0$ 且向左漂移（情況 A）的狀態，因此必然到達，即 $h_- = 1$。
綜合兩者，總回歸概率為：
$$
P_{return} = p \cdot h_+ + q \cdot h_- = 2q
$$
利用對稱性，若 $p < q$，則 $P_{return} = 2p$。
將結果推廣至任意 $p, q$，可寫出統一的解析表達式：
$$
P_{return} = 2\min(p, q) = 1 - \lvert p - q \rvert
$$
後記
當 $p = q$ 時，這就是一個常規的常返問題。一維情況其實是比較簡單的，你只需要定義一個 $P_{esc}$，處理方法類似 Dyson 方程中的分形和自相似性。