引言
幾個月前我搬到多倫多，直至最近我才領教北美的嚴寒，沒有暖氣簡直無法生存。這種情況下開窗是不現實的，我開始思考門窗的縫隙對氣體交換以及溫度的影響。
模型
考慮一個密閉環境，內部某種氣體，譬如二氧化碳的濃度記作$c$，而外部開闊環境中該氣體的濃度記為$c_0$。把室內室外空氣分子的濃度分別記為$n$與$n_0$，室內的熱功率為$P$。密閉空間體積為$V$，表面空氣交換面積為$S$。
計算
氣體交換
這是一個擴散方程，但沒有必要按照擴散方程去求解，那樣太過麻煩。這實際上是一個瀉流問題：假設氣體交換的面積相對總體表面積而言足夠小，並且氣體在內部與外部均勻擴散。對於現實問題而言，外部空間接近無限大，這部分交換氣體帶來的濃度變化可以忽略不計；同時對於內部空間的氣體而言，即便用於氣體交換的表面積有一定的尺寸，但由於人為活動譬如暖氣使得氣體均勻擴散，這樣也可以忽略濃度梯度的影響。總而言之，這實際上是一個理想的瀉流環境。
單位時間單位面積的分子碰壁數的公式為
$$
\Gamma = \frac{1}{4}n \bar v
$$
其中$\bar v$表示平均速度
$$
\bar v = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}
$$
這裡不推導這些公式。計算室內氣體的濃度變化
$$
\frac{dN}{dt} = \frac{Vdc}{dt} = -S(\Gamma - \Gamma_0) + F(t) = -\frac{S}{4}(c\bar v - c_0\bar v_0) + F(t)
$$
其中$F(t)$表示輸入源。整理得到
$$
\dot c + Ac = c_0 A_0 + f(t)
$$
其中$A = \frac{S}{V}\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}$，$A_0 = \frac{S}{V}\sqrt{\frac{kT_0}{2\pi m}}$以及$f(t) = F(t) / V$。這個方程的解為
$$
c(t)=e^{-A(t-t_0)}c_{\mathrm{init}}
+\frac{c_0A_0}{A}\Big(1-e^{-A(t-t_0)}\Big)
+\int_{t_0}^{t} e^{-A(t-s)}f(s)ds
$$
若$F(t) = F_0$，穩態解為
$$
c_\infty = \frac{c_0A_0}{A} + \frac{F}{AV} = c_0\sqrt{\frac{T_0}{T}} + \frac{F_0}{S}\sqrt{\frac{2\pi m}{kT}}
$$
一般而言，常溫範圍開氏溫度$T \approx T_0$，這樣濃度差近似為
$$
\Delta c \approx \frac{F_0}{S}\sqrt{\frac{2\pi m}{kT}} \propto S^{-1}
$$
溫度平衡
首先室內溫度是不斷散失的，這裡僅考慮由氣體交換帶來的內能變換，這裡忽略單一氣體濃度的差異而用空氣分子的平均濃度計算。
考慮空氣中絕大部分由氮氣和氧氣等雙原子分子構成，包括三個平動自由度與兩個轉動自由度，總自由度為五。根據能量均分定理氣體內能為
$$
U = \frac{5}{2}NkT
$$
這裡同樣不推導這個公式。假設室內空氣分子總數保持恆定$dN \approx 0$，即
$$
\Gamma - \Gamma_0 = \frac{1}{4}(n\bar v - n_0\bar v_0) = 0
$$
由此可以得到
$$
\frac{n}{n_0} = \sqrt{\frac{T_0}{T}}
$$
計算內能變化為
$$
\frac{dU}{dt} = \frac{5Nk}{2} \cdot \frac{dT}{dt} = -\frac{5kS}{2}(\Gamma T - \Gamma_0 T_0) + P(t)
$$
整理得到
$$
\dot T + BT = BT_0 + p(t)
$$
其中$B = S\Gamma_0 / N$，$p(t) = 2P(t) / (5Nk)$。考慮熱功率近似恆定$P(t) \approx P_0$，這樣平衡溫度為
$$
T = T_0 + \frac{2P_0}{5kS\Gamma_0}
$$
室內外溫差為
$$
\Delta T = \frac{2P_0}{5kS\Gamma_0} \propto S^{-1}
$$
後記
雖然濃度差與溫差均反比於面積，但濃度差同樣反比於溫度的根號，這一點和溫差不同。
今年夏天我是在家中渡過的，那也是我有記憶以來最炎熱的一個夏天。在我記憶裡過去三十度以上便可稱之為炎熱，三十五度以上便是酷暑，而現在炎熱的標準也上浮到三十五度了。短短幾個月我經歷了從酷暑到從未領教過的嚴寒，也算是奇特的體驗。