引言
這裡計算熱解石墨片在永磁體上懸浮的高度。關於抗磁性的解釋，可以參考這一篇文章。
計算
磁場強度
這裡考慮磁荷法來計算空間中的磁場。假設無限大永磁鐵正上方$h$處的磁場強度為$H$，以向上為正方向，考慮磁場亦從上表面出。此外永磁鐵的厚度為$d$，面磁荷密度為$\sigma$。可以得到
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
H =& \frac{1}{4\pi\mu_0} \left[ \int \frac{\sigma dS}{r^2+h^2} \cdot \frac{h}{\sqrt{r^2 + h^2}} - \int \frac{\sigma dS}{r^2+(h+d)^2} \cdot \frac{h}{\sqrt{r^2 + (h+d)^2}} \right] \\
=& \frac{\sigma}{4\pi\mu_0} \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\infty dr \left[ \frac{1}{(r^2+h^2)^\frac{3}{2}} - \frac{1}{[r^2+(h+d)^2]^\frac{3}{2}} \right] \\
=& \frac{\sigma}{2\mu_0} \left[ \frac{1}{h^2} - \frac{1}{(h+d)^2} \right]
\end{aligned}
\end{equation}
$$
$\mu_0$是真空中的磁導率，$r$表示投影到永磁鐵表面的半徑。
抗磁石墨片
現在考慮一個磁化率為$\chi_m$，半徑為$r_m$，厚度為$l_m$，面密度為$\rho_m$熱解石墨片懸浮於永磁體上方$h$處。記石墨片的磁矩為$p_m$
$$
\begin{equation}
p_m = - \mu_0\chi_m H \cdot \pi r_m^2l_m
\end{equation}
$$
負號表示與磁場方向相反，其中$l_m \ll h$。則石墨片在磁場中受力為
$$
F = p_m \frac{d}{dh}H = - \frac{\mu_0\chi_m}{2} \frac{dH^2}{dh} \cdot \pi r_m^2l_m
$$
再由$F - \rho_m \cdot \pi r_m^2l_m = 0$可以得到$h$
$$
\begin{equation}
\frac{dH^2}{dh} = -\frac{2\rho_m}{\mu_0\chi_m}
\end{equation}
$$
求解這個方程即可算出高度。
近似
記$A = \rho_m / (\mu_0\chi_m)$，$B = \sigma / \mu_0$，並且考慮$h \ll d$。這樣得到高度$h_c$為
$$
h_c \approx \sqrt[5]{\frac{B^2}{2A}} = \sqrt[5]{\frac{\sigma^2\chi_m}{2\mu_0\rho_m}}
$$
這裡面其實只有$\sigma$可變（等於永磁鐵的剩磁感應強度），其他參數差不多都是固定的數值。因此若要觀察到顯著的懸浮現象，應考慮增強永磁鐵的磁性，那麼釹鐵硼就是一個很好的材料。若以$\sigma = 300 mT$計，那麼$h_c$約莫在毫米量級，與石墨大小無關。考慮到近似略去的永磁鐵厚度及其有限表面大小等因素，實際高度應小於上述估計值。
後記
我買了一個熱解石墨片，非常有趣，它是少數能觀察到自然懸浮起來的物質，這與其最強的抗磁性有關，更強的抗磁性就需要訴諸超導。