引言
這裡考慮打開平行賽道的影響。
模型
這裡引入一個取向函數$f(x)$，$x$表示在長度為$L$原隊列中的位置。將選擇後重新排列的原賽道記為$l_1(x)$，顯然有
$$
l_1(x) = \int_0^x f(t) dt
$$
打開的平行賽道$l_2 = x - l_1(x)$。現在考慮流入兩個賽道的速度分別為$v_1$和$v_2$，並且考慮切換到新賽道的時間為$\Delta t$，則
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
f(x) =& \Theta\left(\frac{l_2}{v_2} + \Delta t - \frac{l_1}{v_1}\right)\\
=& \Theta\left[ \frac{1}{v_2}\left(x - \int_0^x f(t)dt\right) + \Delta t - \frac{1}{v_1}\int_0^xf(t)dt \right]
\end{aligned}
\end{equation}
$$
對兩邊求導，得
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
f’(x) =& \delta\left[ \frac{x}{v_2} + \Delta t - \left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right)\int_0^xf(t)dt \right] \cdot \left[ \frac{1}{v_2} - \left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right)f(x) \right]
\end{aligned}
\end{equation}
$$
求解
令$F(x) = \int_0^xf(t)dt$，則
$$
F’(x) = \Theta\left[ \frac{x}{v_2} + \Delta t - \left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right)F(x) \right]
$$
注意到當
$$
F(x) \leq \frac{v_1}{v_1 + v_2}x + \frac{v_1v_2}{v_1 + v_2}\Delta t
$$
$F’(x) = 1$，即$F(x) = x + C_1$。而
$$
F(x) > \frac{v_1}{v_1 + v_2}x + \frac{v_1v_2}{v_1 + v_2}\Delta t
$$
$F’(x) = 0$，$F(x) = C_2$。
行為
考慮$x \to 0$時的一小段$dx$，其中$\Delta t \gg x / v_1$，此時僅有解$F(x) = x$。但隨著$x$的增大到臨界點$v_1\Delta t$時，此時$F’(x) = 0$，如此反覆振盪。因此其解為
$$
F(x) = x,\quad 0 \leq x \leq v_1\Delta t
$$
以及
$$
F(x) = \frac{v_1}{v_1 + v_2}x + \frac{v_1v_2}{v_1 + v_2}\Delta t,\quad x > v_1\Delta t
$$
因此
$$
l_1(L) = \frac{v_1}{v_1 + v_2}L + \frac{v_1v_2}{v_1 + v_2}\Delta t
$$
以及
$$
l_2(L) = L - l_1(L) = \frac{v_2}{v_1 + v_2}L - \frac{v_1v_2}{v_1 + v_2}\Delta t
$$
後記
我是在排隊得到的靈感，我想隊列前面的人不會輕易離開他的位置，或許有其原因。