引言
我試圖去求解排水口的漩渦，但這個問題似乎太複雜了一些。我先思考一個簡單的問題，譬如在杯子的底部開一小孔，大概多長時間杯子中的水會流光。
模型
假設杯子截面積為$A_1$，液面上方的壓強為$p_1$，且液面下降的速度為$u_1$。杯子中水位高度為$h$，在底部有一個面積為$A_2$的孔隙，該處壓強為$p_2$，液體流出速度為$u_2$。
如果考慮液體補充的情況，那麼假設補充的流量為$Q$。
求解
單純漏液
考慮在極短的時間$\Delta t$時間內液面發生輕微下降，根據連續性方程有：
$$
\Delta m = \rho A_1u_1\Delta t = \rho A_2u_2\Delta t
$$
根據功能關係則有：
$$
(p_1A_1)(u_1\Delta t) - (p_2A_2)(u_2\Delta t) + \Delta mgh = \frac{\Delta m}{2}(u_2^2-u_1^2)
$$
右邊是已經假設了只有下降/流出的部分液體的速度發生明顯變化，主體部分液體在這一過程前後的速度沒有發生太大變化，對動能變化沒有貢獻。這樣消去$\Delta m$則有
$$
(p_1-p_2) + \rho gh = \frac{\rho}{2}(u_2^2-u_1^2)
$$
壓力均等於大氣壓，所以壓力差即為零，令$\mu = 1 - A_2^2/A_1^2 = 1 - \alpha^2$，則
$$
u_2 = \sqrt{\frac{2g}{\mu}h}
$$
下面考慮$u_2$與$h$的關係，由於高度的正方向與$u_1$相反，則
$$
dh = -u_1dt = -\alpha u_2dt
$$
即得到高度的微分方程
$$
\frac{dh}{dt} = -\alpha\sqrt{\frac{2g}{\mu}h}
$$
考慮初始時刻$h(t=0) = h_0$，積分得到
$$
h = (\sqrt{h_0} - \alpha t\sqrt{\frac{g}{2\mu}})^2
$$
令高度為零，解出流光液體的時間為
$$
t = \frac{1}{\alpha}\sqrt{\frac{2\mu h_0}{g}} = \sqrt{\frac{2h_0}{g}(\frac{A_1^2}{A_2^2}-1)} \approx \frac{A_1}{A_2}\sqrt{\frac{2h_0}{g}}
$$
即時間取決於面積比，以及初始液面高度的平方根。
液體補充
這種情況只需要對以上方程略作改寫：
$$
A_1dh = (Q-A_2u_2)dt
$$
上面已經解出$u_2$與$h$的關係，整理後該方程即為
$$
\frac{dh}{dt} = \frac{Q}{A_1} - \alpha u_2 = \frac{Q}{A_1} - \alpha\sqrt{\frac{2g}{\mu}h}
$$
做變量代換，令$x = \sqrt{h}$，這樣$dh = 2xdx$，代入方程得到：
$$
dt = \frac{2xdx}{\frac{Q}{A_1} - \alpha x\sqrt{\frac{2g}{\mu}}} = \frac{2xdx}{A - Bx} = -\frac{2}{B}dx + \frac{2A}{B}\frac{dx}{A - Bx}
$$
這裡令$A = Q/A_1$，$B = \alpha\sqrt{2g/\mu}$。兩邊積分得到：
$$
t = -\frac{2}{B}(x - x_0) - \frac{2A}{B^2}\ln(\frac{A - Bx}{A - Bx_0})
$$
這裡$x_0 = \sqrt{h_0}$，令$x = 0$解出時間：
$$
t = \frac{2}{B}\sqrt{h_0} + \frac{2A}{B^2}\ln(1-\frac{B}{A}\sqrt{h_0})
$$
這就是最終時間。考慮$B/A = \frac{\alpha A_1\sqrt{2g/\mu}}{Q} = \frac{A_2\sqrt{2g/\mu}}{Q} \propto A_2$可以是個小量，展開：
$$
t \approx \frac{2}{B}\sqrt{h_0} + \frac{2A}{B^2}(-\frac{B}{A}\sqrt{h_0}) = 0
$$
算出來時間是零？考慮加水恆定而小孔放水緩慢的極限情況下，怎麼會有這麼荒謬的結果？
真實情況是要考慮其物理意義。當A為負的時候，也就是流量為負，高度是可以到零的，上述結果是有意義的。換言之一遍抽水一遍放水，抽得足夠快，所用時間當然可以趨近於零。
然而，當A非負的時候，液面是永遠不會降到零的，它會穩定在一個高度：
$$
\frac{dh}{dt} = \frac{Q}{A_1} - \alpha\sqrt{\frac{2g}{\mu}h} = 0
$$
由此可以解出
$$
h = \frac{\mu Q^2}{2gA_2^2}
$$
也就是說即便一開始第二項對液面的變化貢獻是負值，但隨著液面的下降，相應的貢獻也會變小，直到和穩恆的流量平衡。而該平衡時液面的高度，將由孔隙的尺寸與流量大小共同決定。
後記
我原想是漩渦可能是兩個運動的疊加，一個對應孔隙放水，另一個對應勻速轉動。前者對應液面緩慢下降，而後者我熟悉其解為一個拋物面。這樣考慮可能是過於簡單了，我分明發現在中心處角速度顯然是要快一些。