引言
這裡提供一個等冪求和的辦法。
推導
考慮一個簡單的例子
$$
3n(n+1) = n(n+1)(n+2) - (n-1)n(n+1)
$$
這樣就有
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
1 \cdot 2 =& \frac{1}{3}\left( 1 \cdot 2 \cdot 3 - 0 \cdot 1 \cdot 2 \right) \\
2 \cdot 3 =& \frac{1}{3}\left( 2 \cdot 3 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot 3 \right) \\
& … \\
n \cdot (n+1) =& \frac{1}{3}\left[ n \cdot (n+1) \cdot (n+2) - (n-1) \cdot n \cdot (n+1) \right] \\
\end{aligned}
\end{equation}
$$
兩邊加起來，有
$$
\sum_{i=1}^n i(i+1) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)
$$
不妨記$S_n^m = \sum_{i=1}^n i^m$，以及$P_n^m = \frac{1}{m}\prod_{i=0}^{m-1}(n+i)$（注意上標不表示指數），有
$$
S_n^2 + S_n^1 = P_n^3
$$
類似推導可得
$$
S_n^1 = P_n^2
$$
這樣就可以求出$S_n^2$。考慮一般情況，假設$mP_n^m$可以用冪級數展開
$$
mP_n^m = \sum_{i=0}^{m-1} C_m^in^{m-i}
$$
那麼有
$$
\sum_{i=0}^{m-2} C_{m-1}^iS_n^{m-1-i} = P_n^m
$$
利用這個公式可以遞推解出等冪求和所需要的公式。譬如前四階
$$
\begin{gather}
C_1^0S_n^1 = P_n^2 \\
C_2^0S_n^2 + C_2^1S_n^1 = P_n^3 \\
C_3^0S_n^3 + C_3^1S_n^2 + C_3^2S_n^1 = P_n^4 \\
C_4^0S_n^4 + C_4^1S_n^3 + C_4^2S_n^2 + C_4^3S_n^1 = P_n^5 \\
…
\end{gather}
$$
對於展開項的係數$C_m^i$（注意此處係數非組合數），考慮
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
n(n+1)(n+2)…(n+m-1) =& C_m^0n^m + C_m^1n^{m-1}+…+C_m^{m-1}n \\
=& (C_{m-1}^0n^{m-1}+…+C_{m-1}^{m-2}n) \cdot (n+m-1) \\
=& (C_{m-1}^0n^{m}+…+C_{m-1}^{m-2}n^2) \\
& + (m-1) \cdot (C_{m-1}^0n^{m-1}+…+C_{m-1}^{m-2}n)
\end{aligned}
\end{equation}
$$
因此係數$C_m^i$有如下遞推關係
$$
C_m^i = C_{m-1}^{i} + (m-1)C_{m-1}^{i-1}
$$
考慮$C_m^0 = 1$，並定義$C_m^m = 0$。以開頭給出的例子，利用公式可以逐步遞推得到
$$
\begin{gather}
C_1^0 = 1 \\
C_2^0 = 1 \quad C_2^1 = 1 \\
C_3^0 = 1 \quad C_3^1 = 3 \quad C_3^2 = 2 \\
C_4^0 = 1 \quad C_4^1 = 6 \quad C_4^2 = 11 \quad C_4^3 = 6 \\
…
\end{gather}
$$
因此
$$
\begin{gather}
S_n^1 = P_n^2 = \frac{n(n+1)}{2} \\
S_n^2 = P_n^3 - C_2^1S_n^1 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\
S_n^3 = P_n^4 - C_3^1S_n^2 - C_3^2S_n^1 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}\\
S_n^4 = P_n^5 - C_4^1S_n^3 - C_4^2S_n^2 - C_4^3S_n^1 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}\\
…
\end{gather}
$$
後記
我是在備課時得到的靈感，因為在計算定積分時教材似乎沒有介紹公式是怎麼推導出來的。