引言
如果將數獨寫成矩陣形式，並考慮有限次的行列交換將求解過程轉化爲一系列代數方程：這種方法只有在選擇適當的初始矩陣有效，因為不同種的初始矩陣無法通過直接的行列交換來實現轉化，換言之這些矩陣的行列式的絕對值通常不相等。
即便這樣初始矩陣可以找到，而且這樣的初始矩陣已經滿足一些性質（比如每個數字在一行或者一列都出現一次，交換不改變這個性質），但宮間不能出現重複數字依然是一個需要在求解後附加上的限制。因為需要面對大量的不同種類的初始矩陣，這種方法並不簡便，也不可行。
這裡考慮一個直接的辦法。
模型
我們考慮不同命題$p^1$和$p^2$的關係，不難發現只有如下幾中可能
- $p^1 \rightarrow p^2$，表示由前者可以得到後者
- $\neg p^1 \rightarrow \neg p^2$，即$p^2 \rightarrow p^1$，表示由後者可以得到前者
- $\neg p^1 \rightarrow p^2$，表示兩者不能同時不成立
- $p^1 \rightarrow \neg p^2$，表示兩者不能同時成立
- $p^1 \leftrightarrow p^2$，表示兩者相同
- $p^1 \leftrightarrow \neg p^2$，表示兩者相反
考慮如下兩種情況，存在命題$p^1$，$p^2$和$p^3$：
- 若$\neg p^1 \rightarrow p^2 \rightarrow \neg p^3 \rightarrow p^1$，即$\neg p^1 \rightarrow p^1$，可得$p^1 = \top$
- 若$p^1 \rightarrow \neg p^2 \rightarrow p^3 \rightarrow \neg p^1$，即$p^1 \rightarrow \neg p^1$，可得$p^1 = \bot$
如果用$+$和$-$表示命題和其否定，則以上關係可以用無向圖表示為
現在考慮數獨的情況，規定記號$p_{ij}^m$於數獨第$i$行，第$j$列填入數字$m$。同樣可以用$p_{ij}^{m+}$和$p_{ij}^{m-}$在圖中表示$p_{ij}^m$和$\neg p_{ij}^m$，它們將構成一張圖的全部頂點，數獨的求解等價於尋找連接$p_{ij}^{m+}$和$p_{ij}^{m-}$的過程。
對於數獨每格只能填入一個數字，以及每行，每列，每宮(Block)同一數字不能超過兩次，有以下性質
$$
\begin{align}
& p_{ij}^m \rightarrow \neg p_{ij}^n, \qquad m \neq n,\\
& p_{ij}^m \rightarrow \neg p_{ik}^m, \qquad j \neq k,\\
& p_{ij}^m \rightarrow \neg p_{kj}^m, \qquad i \neq k,\\
& p_{ij}^m \rightarrow \neg p_{kl}^m, \qquad (i,j),(k,l) \in B,\quad i \neq k,\quad j \neq l,
\end{align}
$$
這些都是要求命題不能同時成立，即圖中向下的直線，如果考慮從一個命題的兩個端點出發，僅有這些條件無法形成環。
如果要形成環，則需要考慮以下情況：一個格子中只剩兩個候選數$m$和$n$，以及候選數$m$只能出現在每行，每列，每宮的兩個位置
$$
\begin{align}
& \neg p_{ij}^m \rightarrow p_{ij}^n, \qquad m \neq n,\\
& \neg p_{ij}^m \rightarrow p_{ik}^m, \qquad j \neq k,\\
& \neg p_{ij}^m \rightarrow p_{kj}^m, \qquad i \neq k,\\
& \neg p_{ij}^m \rightarrow p_{kl}^m, \qquad (i,j),(k,l) \in B,\quad i \neq k,\quad j \neq l,
\end{align}
$$
這些都是要求命題不能同時不成立，即圖中向上的直線，結合向下的直線則可能成環，而後則可以根據圖中情況來確認，或者刪去格中候選數。一旦格中候選數得到確認，或者僅剩一個候選數（包括格中某個候選數在其所在行，列，宮唯一的情況，則可以直接確認該格），按其所在行，列，宮排除其他候選並更新無向圖即可。
考慮無向圖的鄰接矩陣$\mathbf{A}$，數獨求解等價於尋找$p_{ij}^{m-} \to p_{ij}^{m+}$或$p_{ij}^{m+} \to p_{ij}^{m-}$的路徑，假設其分別對應為$A_{rs} = 0$和$A_{sr} = 0$。現在依次增加矩陣的階$\mathbf{A^k}$，其中$k = 2,3,…$，若存在$(A^k)_{rs} \neq 0$或$(A^k)_{sr} \neq 0$，則可以分別判斷出命題$p_{ij}^m$的真或假。由於鄰接矩陣可能是一個巨大的稀疏矩陣，亦可用遞歸的方式搜索節點。
後記
這是對此前一篇文章的補充，當時我並不知道邏輯運算。
上個月我在醫院候診的椅子上等待治療牙齒，我凝視著地上的格子，萌生了交換循環矩陣行列的想法。
我認為這是一個聰明的點子，由此我可以把求解過程轉化為代數方程。但只可惜，它不管用，因為我很快就發現不能通過行列交換而實現轉化的數獨矩陣。在經過一些失敗的嘗試後我又回到多年以前的想法：我在整理以前的結果時發現求解過程僅僅對應路徑的尋找，僅僅從幾個簡單的約束條件出發，而不需要考慮一切冗余的技巧。