引言
我注意到牆壁上自上而下的裂紋，我猜想水平方向隨機變化是Brownian Motion。
模型
考慮從裂紋的起點開始，自上而下按豎直方向劃分一系列等距離的間隔，紀錄這些點在水平方向變化，用$y_0,y_1,…,y_n$表示。
現在考慮馬爾科夫過程，每一個水平方向的側移$y_i$僅僅與上方的$y_{i-1}$有關，假設服從高斯分佈
$$
P[Y_i = y_i|Y_{i-1} = y_{i-1}] = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{(y_i-y_{i-1})^2}{2\sigma^2}\right]
$$
很明顯條件期望為
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbb{E}[Y_n|Y_0 = y_0] =& (\sigma\sqrt{2\pi})^{-n}\int dy_n \prod_{i=1}^n \exp\left[-\frac{(y_i-y_{i-1})^2}{2\sigma^2}\right]y_n\\
=& (\sigma\sqrt{2\pi})^{-(n-1)}\int dy_{n-1} \prod_{i=1}^{n-1} \exp\left[-\frac{(y_i-y_{i-1})^2}{2\sigma^2}\right]y_{n-1}\\
=& …\\
=& y_0
\end{aligned}
\end{equation}
$$
現在計算一下方差，考慮
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbb{E}[Y_n^2|Y_0 = y_0] =& (\sigma\sqrt{2\pi})^{-n}\int dy_n \prod_{i=1}^n \exp\left[-\frac{(y_i-y_{i-1})^2}{2\sigma^2}\right]y_n^2\\
=& (\sigma\sqrt{2\pi})^{-(n-1)}\int dy_{n-1} \prod_{i=1}^{n-1} \exp\left[-\frac{(y_i-y_{i-1})^2}{2\sigma^2}\right]\left(y_{n-1}^2 + \sigma^2\right)\\
=& \mathbb{E}[Y_{n-1}^2|Y_0 = y_0] + \sigma^2
\end{aligned}
\end{equation}
$$
裡面用到高斯積分$\int_0^\infty x^2\exp(-ax^2)dx = \pi^{1/2}a^{-3/2}/4$。這意味著均值不變，方差線性增加，這是Brownian Motion的性質。
後記
這是我看到西門那些老房子牆壁上的裂縫是產生的想法，我的猜測是有理由的：我想糊牆的材料大概是各向同性的，缺陷應該隨機產生，牆體自身的重力似乎也不會對水平方向產生影響。
我還在廢墟中發現一張過去的相片，小心地帶了回去。