引言
這篇文章介紹郎之萬抗磁性。
推導
當外加磁場的時候，磁場會對磁矩產生一個力矩，稱為拉莫爾進動，這個力矩大小為
$$
\vec\Gamma = \vec\mu \times \vec B
$$
這一點很容易推導。注意電子（或者嚴格說是原子的淨餘電子，這裡按一個電子處理，其他情況同理可得）的角動量和磁矩的方向是反過來的，因為按照定義
$$
\vec\mu = I\vec S = -\frac{e}{T}\pi r^2\vec n = -\frac{e}{2}\omega r^2\vec n
$$
而電子的角動量為
$$
\vec L = m\omega r^2\vec n
$$
因此
$$
\vec\mu = -\frac{e}{2m}\vec L
$$
這樣磁矩將沿著磁場方向進動。如果取磁場方向為$z$軸正方向，那麼實際上是附加了一個沿著$z$軸的角速度，這樣帶來角動量的變化
$$
\Delta\vec L_n = \vec r_n \times (m\vec\omega_L\times\vec r_n) = m[\vec\omega_L r_n^2 - \vec r_n(\vec r_n \cdot \vec\omega_L)]
$$
其中$\vec\omega_L$表示拉莫爾進動的角速度。考慮$\vec\omega_L = \omega_L\vec k$，以及$\vec r_n = x_n\vec i + y_n\vec j + z_n\vec k$，這樣可以得到
$$
\Delta\vec L_n = m\omega_L[(x_n^2+y_n^2)\vec k - z_n(x_n\vec i + y_n\vec j)]
$$
現在對其做平均，由於對稱性只需要考慮其在$z$軸上面的投影
$$
\langle \Delta\vec L_n \cdot \vec k \rangle = \langle m\omega_L(x_n^2 + y_n^2) \rangle = \frac{2}{3}m\omega_L\langle r_n^2 \rangle
$$
因此，這一部分產生的磁矩為
$$
\vec\mu_L = -\frac{e}{2m} \sum_n^N \langle \Delta\vec L_n\rangle = -\frac{Ne}{3}\omega_L\langle r^2 \rangle \vec k
$$
與磁場方向相反，這就是抗磁性的來源。
後記
郎之萬抗磁性是經典物理下解釋抗磁性的方法，不難看出任何材料都會有抗磁性，但通常會被其他效應所掩蓋。抗磁性最強的材料是熱解石墨，可以表現出天然的宏觀懸浮性。