引言
這篇是關於一維Ising Model的推導，以及相應的平均場解。
模型
考慮粒子只有自旋向上、下兩個態，把配分函數寫出來
$$
Z = \sum_\sigma\exp\left[\sum_i^N(-\beta J\sigma_i\sigma_{i+1}-\beta h\sigma_i)\right]
$$
以及週期性邊界條件
$$
\sigma_{i+N} = \sigma_i
$$
其中自旋$\sigma$用正負一表示向上或向下。
一維精確解
注意指數外面是對所有的構型求和，即每個粒子都有自旋向上、下兩個態，然後把它們全部加起來。為了方便起見，可以把自旋向上的態寫成
$$
|+\rangle = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}
$$
同理自旋向下
$$
|-\rangle = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}
$$
它們是正交的
$$
\langle-|+\rangle = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}^T\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} = 0
$$
以及是歸一化的
$$
\sum_{i=\pm}|i\rangle\langle i| = \mathbf{I}
$$
這樣把配分函數改寫一下
$$
Z = \sum_\sigma\prod_i^N\exp\left[-\beta J\sigma_i\sigma_{i+1}-\frac{\beta h}{2}(\sigma_i+\sigma_{i+1})\right]
$$
注意配分函數是一個標量，顯然沒辦法直接算，因此希望用矩陣的形式表示它：把指數項寫成二次型的形式，考慮下面這個矩陣
$$
\mathbf{V} = \beta
\begin{bmatrix}
-J-h & J\\
J & -J+h
\end{bmatrix}
$$
這樣指數就可以處理成
$$
\exp\left[-\beta J\sigma_i\sigma_{i+1}-\frac{\beta h}{2}(\sigma_i+\sigma_{i+1})\right] = \langle i|\mathbf{V}|i+1\rangle
$$
這樣就不用再將正負一代進去算了（左邊），而只需要考慮粒子$|i\rangle$取向上$|+\rangle$或向下$|-\rangle$哪個態（右邊），因此配分函數寫成矩陣的形式
$$
\begin{align}
Z =& \sum_{1=\pm}\sum_{2=\pm}…\sum_{N=\pm}\prod_i^N \langle i|\mathbf{V}|i+1\rangle\\
=& \sum_{1=\pm}\sum_{3=\pm}…\sum_{N=\pm}\left[\sum_{2=\pm}\langle 1|\mathbf{V}|2\rangle\langle 2|\mathbf{V}|3\rangle…\langle N-1|\mathbf{V}|N\rangle\langle N|\mathbf{V}|1\rangle\right]\\
=& \sum_{1=\pm}\sum_{3=\pm}…\sum_{N=\pm}\left[\langle 1|\mathbf{V}^2|3\rangle…\langle N-1|\mathbf{V}|N\rangle\langle N|\mathbf{V}|1\rangle\right]\\
=& …\\
=& \sum_{1=\pm}\langle 1|\mathbf{V}^N|1\rangle\\
=& \text{Tr}({V}^N)
\end{align}
$$
然後就是將其對角化
$$
\mathbf{\Lambda} = \mathbf{P}^{-1}\mathbf{V}\mathbf{P} = \text{diag}({\lambda_1,\lambda_2})
$$
這樣解出
$$
Z = \text{Tr}(\mathbf{V}^N) = \text{Tr}(\mathbf{P}\mathbf{\Lambda}^N\mathbf{P}^{-1}) = \lambda_1^N + \lambda_2^N
$$
有了配分函數就可以算出自由能，進而計算相變，我就不展開了。
平均場理論
平均場理論考慮扔掉交叉項$\delta_i\delta_j$
$$
\begin{align}
\sigma_i\sigma_j =& (\bar\sigma_i+\delta_i)(\bar\sigma_j+\delta_j)\\
\approx& m^2 + m\delta_i + m\delta_j\\
=& m^2 + m(\sigma_i-m) + m(\sigma_j-m)\\
=& m(\sigma_i+\sigma_j-m)
\end{align}
$$
這樣哈密頓量就變得簡單了。考慮對所有近鄰$q$個粒子求和，
$$
\begin{align}
H =& \sum_i^N(-\frac{Jq}{2}\sigma_i\sigma_{i+1}-h\sigma_i)\\
\approx& \frac{m^2NJq}{2} - h’\sum_i\sigma_i
\end{align}
$$
其中$h’ = mJq+h$。相應的配分函數就可以直接算出
$$
\begin{align}
Z =& \sum_\sigma\exp\left[-\beta \frac{m^2NJq}{2}+\beta h’\sum_i\sigma_i\right]\\
=& \exp\left[-\beta \frac{m^2NJq}{2}\right]\left[2\cosh\left(\beta h’\right)\right]^N
\end{align}
$$
平均場按此給出
$$
\begin{align}
m =& \frac{1}{N}\sum_i^n\bar\sigma_i\\
=& \frac{\sigma_i\exp\left[-\beta \frac{m^2NJq}{2}+\beta h’\sum_i\sigma_i\right]}{NZ}\\
=& \frac{1}{N\beta}\frac{\partial\ln Z}{\partial h’}\\
=& \tanh(\beta h’)
\end{align}
$$
其他相應的結果都可以算出來。
後記
轉移矩陣的解法最好把矩陣具體寫出來，統計物理通常跳過很多步驟。