引言
本文旨在為求解第二類常數上下限線性積分方程提供兩種方法。
積分方程
對於這一類方程
$$
y(x) - \epsilon\int_a^bK(x,t)y(t)dt = f(x)
$$
第一類解法為尋找一個對$x$作用的線性算符$\hat L_x$，從而將卷積核$K(x,t)$映射成為 Dirac’s delta function $\delta(x-t)$。通常這種算符並不容易找到，換言之解法並沒有降低問題的複雜度，只是提供另一個角度去尋找近似方法。
另一個比較現實的處理方法即採用微擾的辦法：如果$\epsilon$是小量，則可以通過多次卷積將解展開為一個幾何級數和。若$\epsilon$足夠小，則可以保證其收斂。這是一種近似的方法，但在實際問題中比較常見。
線性算符
考慮存在$\hat L_x$使得
$$
\hat L_xK(x,t) = \delta(x-t)
$$
則方程兩邊同時用算符$\hat L_x$作用，由於該算符為線性並只對$x$作用，可以移入積分符號內，得到與其等價的方程
$$
\hat L_xy(x) - \epsilon y(x) = \hat L_xf(x)
$$
如果$\hat L_x$只涉及微分運算，則結果為一個與原積分方程問題等價的一個微分方程。考慮如下幾個例子：
當$K(x,t) = |x-t|$時，因為有$\frac{\partial K(x-t)}{\partial x} = \text{sgn}(x-t)$及$\frac{\partial^2 K(x,t)}{\partial x^2} = 2\delta(x-t)$，即$L_x = \frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}$，得到等價的線性微分方程
$$
y_{xx}’’ - 2\epsilon y(x) = f_{xx}’’(x)
$$
可見絕對值函數在此類問題中比較特殊，如果$K(x,t) = (x-t)^n$，則可以對兩邊求$n + 1$次導數令卷積項消失，而後方程的通解為$y(x) = f(x) + \sum_{i = 0}^n A_nx^n$，代入原積分方程確定各階係數。考慮絕對值函數的定義：
$$
x - t = |x-t|\text{sgn}(x-t)
$$
兩邊對$x$求導
$$
1 = \text{sgn}(x-t)^2 + 2|x-t|\delta(x-t)
$$
這個關係可用於後面代換。考慮另一個例子，當$K(x,t) = \exp(\gamma|x-t|)$，對其求二階導數
$$
\frac{\partial^2}{\partial x^2}K(x,t) = 2\gamma\exp(\gamma|x-t|)\delta(x-t) + \gamma^2\exp(\gamma|x-t|)\text{sgn}(x-t)^2
$$
考慮變量代換
$$
\frac{\partial^2}{\partial x^2}K(x,t) = 2\gamma[\exp(\gamma|x-t|)-\gamma|x-t|]\delta(x-t) + \gamma^2\exp(\gamma|x-t|)
$$
考慮在$x \neq t$的地方等式右邊第一項為零，因此只需考慮$|x-t| \rightarrow 0$的位置。由泰勒展開知指數與絕對值函數的差為$1$，整理得
$$
[\frac{\partial^2}{\partial x^2}-\gamma^2]K(x,t) = 2\gamma\delta(x-t)
$$
即算符為$\hat L_x = \frac{1}{2\gamma}[\frac{\partial^2}{\partial x^2}-\gamma^2]$，與其等價的線性微分方程則為
$$
y_{xx}’’(x) - (\gamma^2+2\epsilon\gamma)y(x) = f_{xx}’’(x) - \gamma^2f(x)
$$
微擾
考慮方程
$$
y(x) = f(x) + \epsilon\int_a^bK(x,t)y(t)dt
$$
為簡化卷積符號表示，在此規定$K_t^x \ast y^t \triangleq \int_a^bdtK(x,t)y(t)$，原方程即為
$$
y^x = f^x + \epsilon K_t^x\ast y^t
$$
兩邊卷積一次
$$
K_t^x\ast y^t = K_t^x\ast f^t + \epsilon K_t^x\ast(K_\tau^t\ast y^\tau)
$$
消去一階卷積項，得到
$$
y^x = f^x + \epsilon K_t^x\ast f^t + \epsilon^2 K_t^x\ast (K_\tau^t\ast y^\tau)
$$
重複這個過程可以得到任意高階項，一般而言，二階的精度已經足夠。
考慮離散的情況，將區間$[a,b]$分成$k$個點，考慮矩陣形式：$y$和$f$為$k$維列向量，卷積核為$k\times k$矩陣，並將其展開到$n$階
$$
\vec y = \vec f + \epsilon\mathbf{k}\vec f + \epsilon^2\mathbf{k}^2\vec f + … + \epsilon^{n - 1}\mathbf{k}^{n - 1}\vec f + \epsilon^n\mathbf{k}^n\vec y
$$
考慮$\mathbf{k}$的所有特徵值$\lambda_i$，如果保證$|\epsilon\lambda_i| < 1$，則級數收斂
$$
\vec y = (\mathbf{I}-\epsilon\mathbf{k})^{-1}(\mathbf{I}-\epsilon^n\mathbf{k}^n)\vec f + \epsilon^n\mathbf{k}^n\vec y = (\mathbf{I}-\epsilon\mathbf{k})^{-1}\vec f
$$
考慮$\mathbf{Q} = [\xi_1,\xi_2,…,\xi_k]$，其中$\xi_i$為$\mathbf{k}$特徵值$\lambda_i$對應的特徵向量，則逆矩陣
$$
(\mathbf{I}-\epsilon\mathbf{k})^{-1} = \mathbf{Q}\text{diag}(\frac{1}{1 - \epsilon\lambda_1},\frac{1}{1 - \epsilon\lambda_2},…,\frac{1}{1 - \epsilon\lambda_k})\mathbf{Q}^{-1}
$$
考慮卷積核$K(x,t) = K(t,k)$且有$k$個不同特徵值$\lambda_i$及與之對應歸一化特徵向量$\xi_i$，則
$$
(\mathbf{I}-\epsilon\mathbf{k})^{-1} = \mathbf{Q}\text{diag}(\frac{1}{1 - \epsilon\lambda_1},\frac{1}{1 - \epsilon\lambda_2},…,\frac{1}{1 - \epsilon\lambda_k})\mathbf{Q}^T = \sum_{i = 1}^k\frac{1}{1 - \epsilon\lambda_i}\xi_i\xi_i^T
$$
可根據這個性質反向設計卷積核$\mathbf{K} = \sum_{i = 1}^k\lambda_i\xi_i\xi_i^T$，若使$\xi_i = [0,0,…,1,…,0]^T$，其中僅第$i$個元素非零，則解可以表示為簡單的結果
$$
y_i = \frac{1}{1 - \epsilon\lambda_i}f_i
$$
如果輸入$f = const$為常數，注意到此表達式實質對應一個數據訓練的結果。若將級數和解寫成連續情況即為
$$
(\delta^x_t-\epsilon K_t^x)\ast y^t = f^x
$$
這正是原積分方程。如果存在函數$F(x,t)$使得
$$
F_t^x - \epsilon F^x_\tau\ast K^\tau_t = \delta_t^x
$$
則方程的解為
$$
y^x = F_t^x\ast f^t
$$
離散化的結果提供一種尋找該函數的方法。